Háromszög oldalfelező merőlegesei

Tétel: A háromszög három oldalfelező merőlegese egy pontban metszik egymást.

Bizonyítás:

Tudjuk, hogy egy adott szakasz felező merőlegese azoknak a pontoknak a halmaza, amelyek egyenlő távolságra vannak a szakasz két végpontjától.

Húzzuk meg a mellékelt ABC háromszög AB illetve BC oldalainak felezőmerőlegesét.

Az AB oldal felezőmerőlegese (e) és a BC oldal felezőmerőlegese (f) metszi egymást egy pontban (M), hiszen AB és BC nem párhuzamosak, ezért felezőmerőlegeseik sem azok.

Az e egyenes minden pontja, így M is egyenlő távol van A és B pontoktól.

Az f egyenes minden pontja, így M is, egyenlő távol van B és C pontoktól.

Ebből következik, hogy az M pont egyenlő távol van A, B és C csúcstól is. Tehát M illeszkedik AC felezőmerőlegesére (g).

Az oldalfelező merőlegesek M metszéspontja tehát egyenlő távol van mindhárom csúcstól, ezért ha M pont körül AM=BM=CM sugárral kört húzunk, a kör át fog menni a háromszög mindhárom csúcsán.

Ha a háromszög hegyesszögű, akkor a köré írt kör középpontja a háromszög belsejében van (lásd fenti ábra).

Ha a háromszög derékszögű, akkor a köré írt kör középpontja az átfogó felezési pontja. (Thalész tétele.)

Ha háromszög tompaszögű, akkor a köré írt kör középpontja a háromszögön kívülre esik.