Az egyenes körhenger térfogata

Az egyenes körhenger térfogatának meghatározásánál felhasználjuk, hogy a hasáb térfogata:

Vhasáb=talapterületmhasáb

Az egyenes henger térfogatát köré és beleírt hasábok segítségével, a kétoldali közelítés módszerével határozzuk meg.

A henger alaplapjába, azaz az r sugarú körbe és a kör köré egy-egy szabályos sokszöget írunk, melyek oldalszámai n=3, 4, 6, 8, stb. A beírt hasáboknál a sokszög csúcsai a körvonalon helyezkednek el, a köréírtaknál pedig a sokszögek oldalai (az alap és fedőlap alapélei) érintik a henger alap ill. fedőkörét. A hasábok és a henger alap és fedőlapjai egy síkba esnek. A beleírt hasábok térfogata mindig kisebb, a körírt hasábok térfogata pedig mindig nagyobb a henger térfogatánál, felírhatjuk tehát a következő egyenlőtlenségeket:

Vbele < Vhenger<Vköré. azaz
Vbele=tbele*m<Vhenger<tköré*m=Vköré

Ahol m a henger és a hasábok magassága, tbele és tköré a bele és köré írt hasábok alaplapjainak területe.

A beleírt és köréírt hasábok oldalszámának növelésével a beleírt sokszög területe, így a beleírt hasáb térfogata is növekszik, míg a köréírt sokszög területe, vele együtt a hasáb térfogata csökken. A bele és a köréírt sokszögek oldalszámát növelve a két sokszög területe között a különbség bármilyen kicsivé tehető, és ez a kör területét, azaz r2p -t adja. Így tehát a henger térfogata:

Vhenger=tkörmhenger, azaz röviden:
V=r2
p m

 

Animáció. (ha lehet.)
beleírt és köréírt 3, 4, 6, 8 oldalú hasábok.

A henger, mint gabonatartály már a Kr. e 2000 körül feltűnik ókori egyiptomiaknál a Rhind papiruszon. Ez azt is megmutatja, hogy a henger térfogatát ki tudták számítani.

Arkhimédész gyakorlatilag a fenti módszert (kimerítés módszerét) alkalmazta mind a henger, mind a gömb, mind a kúp térfogatának meghatározásánál. Egyik legszebb felfedezésének tartotta, hogy az egyenlő oldalú henger a beleírt gömb és kúp aránya:

Vhenger:Vgömb:Vkúp=3:2:1