Kör négyszögesítése

Mit is jelent ez? Már az ókori matematikusokat (Például Arkhimédész, Hippokratész, Eratoszthenész) izgatta az a kérdés, hogyan lehet egy adott kör területével egyenlő területű négyszöget szerkeszteni.

?
=

Az, hogy egy adott körrel egyező területű négyzetnek lennie kell, elég könnyen belátható.

Szerkesszünk az adott r sugarú körbe beírt és köréírt négyzetet.

A beleírt négyzet területe kisebb, a köréírt négyzet területe pedig nagyobb, mint a kör területe.

Azaz:

b2 < tkör=r2 p < k2.

A beírt négyzet oldalát folyamatosan növelve, vagy a köréírt oldalát csökkentve, kell legyen egy olyan állapot, amikor a négyzet területe éppen a kör területével egyezik meg.

a2 = tkör=r2 p

Nézzük a fenti egyenlete: a2 =r2 p. Ebből négyzetgyökvonás után kapjuk, hogy

Ez pontosan azt jelenti, hogy adott szakasz (egység) esetén a p négyzetgyökét kellene megszerkeszteni.

Persze a p szerkesztése is elegendő lenne, hiszen a negyedik arányos segítségével a négyzetgyökét is elő tudjuk állítani.

Ma már tudjuk (a XIX. század végétől), hogy euklideszi módon a p nem szerkeszthető, tehát nem szerkeszthető ilyen módon olyan négyzet, négyszög sem, amelynek a területe egy adott kör területével lenne egyenlő.

A probléma általánosabban is megfogalmazódott. Egy adott sokszöggel egyenlő területű, részben vagy egészben görbe vonalakkal határolt síkidom szerkeszthető-e. Vannak esetek, amikor igen.

Hippokratész holdjai nagyszerű példája annak, hogy lehetséges egy adott sokszöggel (itt a háromszöggel) egyenlő területű, de görbe vonalakkal határolt síkidomot szerkeszteni. Itt a kér hold területének az összege éppen a háromszög területével egyenlő.

Bár euklideszi módon nem lehet a kör négyszögesítését megoldani, több jó közelítő szerkesztési eljárás is született a p szerkesztésére.