Két vagy több egész szám legkisebb közös többszöröse

Definíció: Két vagy több egész szám legkisebb közös többszöröse az a legkisebb nem negatív egész szám, amelynek az adott számok mindegyike osztója.

Jelöléssel: [a,b,c]=d, ha d a legkisebb olyan egész, hogy d=a*m, d=b*l, és d=c*k, ahol a, b, c, d, l, m, k egész számok.

Például: [63,105,252]=1260, mert 1260=63*20, 1260=105*12, 1260=252*5.

A legkisebb közös többszörös előállítása: A legkisebb közös többszörösnek tartalmaznia kell a számokban előforduló prímtényezők mindegyikét. Ezért a legkisebb közös többszöröst is a számok prímtényezős felbontása alapján határozzuk meg:a=63=3*3*7=32*7, b=105=3*5*7, 252=2*2*3*3*7=22*32*7 A legkisebb közös többszörös=32*7*5*22=1260

Röviden: a számok prímtényezős felbontásaiból az összes prímtényezőt kiválasztjuk az előforduló legnagyobb hatványkitevővel, és ezeket a prímszámhatványokat összeszorozzuk.

Alkalmazása: Például törtek közös nevezőre hozásánál. Mennyi 5/63+2/105? Mivel [63,105]=315, ezért (5*5)/(5*63)+(2*3)/3*105)=25/315+6/315=31/315.

Jó tudni, hogy két szám legnagyobb közös osztójának és legkisebb közös többszörösének szorzata megegyezik a két szám szorzatával. Azaz (a,b)*[a,b]=a*b. Például: (252,630)=126, [252,630]=1260, és 126*1260=158760=252*630

Feladat: (Összefoglaló feladatgyűjtemény 3937. feladat.)

Melyik az a legkisebb természetes szám, amelyik 2-vel osztva 1, 3-mal osztva 2, 4-gyel osztva 3 és 5-tel osztva 4 maradékot ad?

Megoldás:

Vegyük észre, hogy minden esetben a maradék 1-gyel kevesebb, mint az osztó. Ez azt jelenti, hogy a keresett számnál 1-gyel nagyobb szám osztható 2-vel, 3-mal, 4-gyel és 5-tel is. Ezek a számok a 2, 3, 4, 5 többszörösei. Mivel a feladat a legkisebb ilyet kéri, ezért a keresett számnál eggyel nagyobb szám: [2;3;4;5]=60. Így a keresett szám: 60-1=59.
Ellenőrzés:

59=2*29+1
59=3*19+2
59=4*14+3
59=5*11+4