Logaritmus azonosságai

A hatványozásra vonatkozó azonosságok. és a logaritmus definíciójából következik, hogy a logaritmussal végzett műveleteknél is érvényesek azonosságok, amelyek megkönnyítik a logaritmus alkalmazását.

Az alábbiakban a három legalapvetőbb és leggyakoribb azonosságot és bizonyítását láthatjuk:

1.

2.

3.

A fenti azonosságok bizonyításánál fel fogjuk használni a logaritmus definícióját, valamint a hatványozásra vonatkozó azonosságokat.

1. Az első azonosság azt mondja ki, hogy egy szorzat logaritmusa egyenlő a tényezők ugyanazon alapú logaritmusának összegével.

Formulával: .

Feltételek: a, x, y ÎR+, a¹1. Azaz a, x, y pozitív valós számok, a nem lehet 1.

Bizonyítás: A logaritmus definíciója szerint minden valós szám felírható ugyanazon alapú hatvány és logaritmus segítségével a következő módon:

Írjuk fel az állításban szereplő x, y pozitív valós számokat és az xy szorzatot a logaritmus definíciója szerint: , , illetve alakban. Szorozzuk össze az x és az y változókat ebben az alakjukban:

.

Itt az utolsó lépésnél felhasználtuk a hatványozás azon azonosságát, hogy azonos alapú hatványok szorzásakor a közös alapot a kitevők összegére emelhetjük.

Másrészt az xy szorzatot felírtuk a logaritmus definíciója segítségével is:

Ez azt jelenti, hogy . Mivel ugyanazon a pozitív valós számok hatványai csak úgy lehetnek egyenlők, ha a kitevők egyenlők, ezért:

És ezt kellett igazolni.

2. A második azonosság azt mondja ki, hogy egy tört logaritmusa egyenlő a számláló és a nevező ugyanazon alapú logaritmusának különbségével.

Formulával:

Feltételek: a, x, y ÎR+, a¹1. Azaz a, x, y pozitív valós számok, a nem lehet 1.

Bizonyítás: A logaritmus definíciója szerint minden valós szám felírható ugyanazon alapú hatvány és logaritmus segítségével a következő módon:

Írjuk fel az állításban szereplő x, y pozitív valós számokat és az x/y hányadost a logaritmus definíciója szerint: , , illetve módon. Írjuk fel az x/y hányadost ebben a hatványkitevős alakjukban is:

.

Itt az utolsó lépésnél felhasználtuk a hatványozás azon azonosságát, hogy azonos alapú hatványok osztásakor a közös alapot a kitevők különbségére emelhetjük.

Másrészt az x/y hányadost felírtuk a logaritmus definíciója segítségével is:

Ez azt jelenti, hogy: . Mivel ugyanazon a pozitív valós számok hatványai csak úgy lehetnek egyenlők, ha a kitevők egyenlők, ezért:

És ezt kellett igazolni.

3. A harmadik azonosság szerint egy hatvány logaritmusa egyenlő az alap ugyanezen alapú logaritmusának és a hatványkitevőnek a szorzatával.

Formulával:

Feltételek: a, xÎR+, a¹1, kÎR. Azaz a, x, pozitív valós számok, a nem lehet 1, k pedig tetszőleges valós szám lehet.

Bizonyítás: A logaritmus definíciója szerint minden valós szám felírható ugyanazon alapú hatvány és logaritmus segítségével a következő módon:

Írjuk fel az állításban szereplő x pozitív valós számot és az xk hatványt a logaritmus definíciója szerint: , illetve formában.

Emeljük most fel x hatványkitevős alakját a k-adik hatványra!

Az utolsó lépésnél felhasználtuk a hatvány hatványozásra vonatkozó azonosságot, miszerint hatvány hatványozásánál a kitevők összeszorzódnak.

Ez azt jelenti, hogy . Mivel ugyanazon a pozitív valós számok hatványai csak úgy lehetnek egyenlők, ha a kitevők egyenlők, ezért:

És ezt kellett igazolni.

Megjegyzés: Amennyire jól használhatók a logaritmus azonosságai a szorzás, osztás és hatványozás műveleteinél, annyira tehetetlen a logaritmus az összeggel illetve különbséggel szemben.