Nevezetes (speciális) négyszögek. Négyszögek osztályozása

Nevezetes (speciális) négyszögek:

Trapézok:

Olyan négyszögek, amelyeknek van két párhuzamos oldala.

Paralelogrammák:

Olyan négyszögek, amelyeknek szemközti oldalai párhuzamosak.

Téglalapok:

Olyan négyszögek, amelyeknek egyenlők a szögei.

Rombuszok:

Olyan négyszögek, amelyeknek egyenlők az oldalai.

Négyzetek:

Olyan négyszögek, amelyeknek szögei és az oldalai is egyenlők.

Deltoidok:

Olyan négyszögek, amelyeknek van csúcsai átmenő szimmetriatengelye.

Négyszögek osztályozása.

A. Az oldalak párhuzamossága szerint 3 nagy csoportba sorolhatók a négyszögek:

1.      Két-két párhuzamos oldaluk van. Ez a paralelogrammák családja. A téglalap, a rombusz és a négyzet is ide tartozik.

1.      Két párhuzamos oldaluk van. A trapézok családja, amelynek részhalmaza a paralelogrammák családja.

2.      Nincs párhuzamos oldaluk. A fent említett speciális négyszögek közül bizonyos deltoidok tartozhatnak ide.

B. Az oldalak egyenlősége szerint 5 csoportba sorolhatók.

1.      Minden oldaluk egyenlő: rombuszok, és ezen belül a négyzetek.

2.      Két-két szemközti oldaluk egyenlők. Ezek a paralelogrammák.

3.      Szomszédos oldalaik egyenlők. Ezek a deltoidok. A deltoidok családjának részhalmaza a rombuszok és a négyzetek családja.

4.      Két vagy három egyenlő oldala van. A speciális négyszögek közül csak a trapézok között fordulhat ilyen elő.

5.      Nincs egyenlő oldaluk. Az általános négyszögeken kívül a trapéz lehet ilyen.

Nézzük ezután hogyan csoportosíthatók a speciális négyszögek:

A mellékelt halmazábrán láthatók az egyes speciális négyszögek csoportosítva.

A={Általános négyszögek}
T={Trapézok}
P={Paralelogrammák}
L={Téglalapok}
R={Rombuszok}
N={Négyzetek}
D={Deltoidok}

Az egyes halmazok között kapcsolatok tehát:

P Ì T; L Ì P; R Ì P; NÌ L; NÌ R; RÌ D; NÌ D. (Ì : valódi részhalmaz)

LÇ R=N (Ç : Halmazok metszete.)

Feladat: (Összefoglaló feladatgyűjtemény 1743. feladat.)

Az alábbi állítások közül melyek igazak, és miért?

a.       Minden rombusz érintőnégyszög.

b.      Minden érintőnégyszög trapéz.

c.      Minden téglalap trapéz.

d.      Van olyan trapéz, amelyik húrnégyszög.

Megoldás:

Minden rombusz érintőnégyszög.

Ez igaz, mivel a rombusz oldalai egyenlő hosszúak, ezért szemközti oldalainak összege mindig egyenlő. Tehát minden rombusz érintőnégyszög.

Minden érintőnégyszög trapéz.

Ez nem igaz, mert lehet egy kör köré úgy 4 darab érintőt húzni, hogy azok között ne legyen párhuzamos.

Például:

Minden téglalap trapéz.

Ez igaz, hiszen a téglalapnak vannak párhuzamos oldalai.

Van olyan trapéz, amelyik húrnégyszög.

Ez igaz, mert a szimmetrikus trapéz szemközti szögei egymást 180°-ra egészítik ki.