Racionális számok

Definíció: Azok a számokat, amelyek felírhatók két egész szám hányadosaként, racionális számoknak nevezzük. A racionális számok halmazának jele: Q.

Formulával: "c" eleme Q-nak, ha c=a/b, ahol "a", "b"є eleme Z (egész számok halmaza), és b ≠ 0.

Például: 2/3, 1/2, 5, mert 5=30/6=5/1. A nulla is racionális szám, hiszen 0=0/d, ahol d bármilyen 0-tól különböző egész szám.

Racionális számok legfontosabb tulajdonságai:

1.      Végtelen: nincs legnagyobb és nincs legkisebb szám köztük.

2.      Rendezhető, azaz nagyság szerint sorba rakható.

1.      Zárt a négy alapműveletre nézve, azaz a négy alapművelet véges számú alkalmazásával ismét csak racionális számot kapunk.

2.      Sűrű, azaz bármely két racionális szám közé bármennyi racionális szám írható.
Például írjunk 9 darab racionális számot a 7/9-ed és a 8/9-ed törtek közé!
Bővítsük a törteket: 7/9=70/90, és 8/9=80/90.
Így 7/9< 71/90<72/90<73/90<...<79/90<8/9.

A racionális számok tizedes tört alakba is írhatók. Tizedes tört alakjuk lehet:

1.      Véges. Például: 3/4=0.75, 1/2=0.5. A véges tizedes törteket olyan közönséges törtekből kapunk, amelyek nevezőjében nem szerepel más prímtényező, mint a 2 és/vagy az 5.

2.      Végtelen, de szakaszos (periodikus) tizedes tört.

Ez lehet tiszta periodikus.

Például 1/3=0,333333...., 2/7=285714285714........
(Ilyet olyan közönséges törtekből kapunk, amelyek nevezőjében nem szerepel prímtényezőként sem a 2, sem és az 5.)

Vagy vegyes periodikus.

Például :2503/9990=0,2505505...., vagy 2/18=0,27777....

A szakaszt alkotó számjegyek száma (a szakasz hossza) kisebb, mint a tört nevezője.

 A periodikus tizedes törteket úgy jelöljük, hogy az ismétlődő szakasz első és utolsó számjegye fölé pontot írunk.

Például:

,

Fordítva is igaz, azaz minden periodikus tizedes tört felírható két egész szám hányadosaként, azaz racionális szám. Ezt csak példán mutatjuk meg:

, vagy

A racionális számokat számegyenesen is ábrázolhatjuk.

Minden racionális számhoz tartozik a számegyenes egy pontja. Megfordítva azonban nem igaz. Vannak a számegyenesen olyan pontok, amelyekhez nem racionális szám tartozik. Bizonyos értelemben sokkal "több" ilyen pontja van a számegyenesnek. Ezekhez a pontokhoz az irracionális számok rendelhetők.

A közönséges törtek tizedes törtté való alakítását a középkorban az olasz Cavalieri tanulmányozta először. Később Gauss volt az, aki tisztázta, hogy mikor kapunk tiszta vagy vegyes szakaszos tizedes törtet, és mekkora lehet a szakasz hosszúsága.