Fraktálokról

Ilyen típusú alakzatokat alig húsz éve ismerünk. A nyolcvanas évek elején indultak hódító útjukra egy véletlen folytán. Mandelbrot lengyel származású, USA-ban élő matematikus, miközben számításait geometriailag illusztrálta számítógépén, olyan furcsa mértani alakzatra lett figyelmes, amely minden korábbitól különbözött. Sokáig azt hitte, számítógépe meghibásodott, azért adja a szokatlan kimenetet.

Hétköznapi fogalmazással a fraktál olyan alakzat, amely olyan részekből áll. hogy minden egyes rész az egészhez nagyon hasonló kicsinyített másolat.

A fraktálok meglepő tulajdonsága, hogy: nem - vagy alig - változnak, ha kicsinyítjük vagy nagyítjuk őket. Önhasonlók, és olyan, a természetben is előforduló alakzatokhoz hasonlítanak, mint a felhők, a hegyek vagy a szárazföldek partvonalai, stb.

Nagyon sok matematikai struktúra fraktált határoz meg. A legtöbb fraktál egy egyszerű matematikai képlet, eljárás sokszori, ismételt alkalmazásával, azaz iterációjával jön létre.

Vegyünk egy egyszerű példát:

A szakaszt helyettesítsük négy másikkal a mellékelt ábra szerint

 

 

Folytassuk ezt az eljárást "vég nélkül". Minden szakaszt négy másikkal helyettesítünk.

 

 

Így könnyen eljuthatunk egy "hópehely"-szerű alakzathoz:

 

A fenti alakzat egyszerű példája annak, hogyan készíthető olyan véges területtel lefedhető síkbeli alakzat, amelynek kerülete egyre nagyobb ("végtelenhez közelít").

A fraktál elnevezés egyébként a latin fractus szóból ered, amelynek jelentése: törött, töredezett.

A fraktálok kutatásával párhuzamosan a matematikai analízis számos más területe is fejlődésnek indult, így például a dinamikus rendszerek elmélete (pl. meteorológia), és ezen belül az un. káoszelmélet.

Ez utóbbi tudományterület olyan sorozatokkal foglalkozik, amelynek tagjai egyre inkább előre kiszámíthatatlan, kaotikus módon követik egymást.

Forrás: Matematika tanári kincsestár. (Raabe kiadó)

Ha szeretnél megismerkedni az Xaos programmal. amely a kaosz szóról kapta a nevét, akkor látogasd meg az alábbi Internet címeket:

http://xaos.theory.org/

http://math.u-szeged.hu/kovzol/xaos/

Három dimenziós fraktálok: http://index.hu/tudomany/2009/11/18/terhatasu_lett_a_mandelbrot-halmaz