Oszthatóság

Az oszthatóság kérdését teljes általánosságban Pascal francia matematikus vizsgálta.

Definíció: Az "a", "b" természetes számok esetén az "a" számot "b" osztójának nevezzük, ha van olyan "q" természetes szám, hogy fennáll a b=aq egyenlőség. Ekkor azt mondjuk, hogy "b" osztható "a"-val.

Jelölés: a|b, ha b=aq, és a,b,q eleme N-nek.

Például: 9|63, mert 63=9*7.

Megjegyzések:

1.      Mivel oszthatóság szempontjából minden szám és ellentettje is ugyanúgy viselkedik, ezért elegendő definíciót a természetes számokra megfogalmazni. A nulla természetes szám.

2.      Nem szabad az oszthatóságot az osztással összetéveszteni. Az oszthatóság definíciójában nem is szerepel az osztás művelete. A 0:0 művelet nincs értelmezve, viszont 0|0 igen, azaz 0 osztója a nullának, hiszen 0=0*q, q tetszőleges természetes szám esetén.

3.      A definíció alapján következik, hogy természetes számok között, ha a|b, akkor a nem nagyobb b-nél.

Oszthatóság alapvető tulajdonságai: (az itt szereplő változók mind természetes számot jelölnek.)

1.      a|a. (Reflexív tulajdonság.)
Azaz minden szám osztója önmagának. (A nulla is) Ugyanis 1 természetes szám, így a=a*1.         Például: 27|27, 0|0, 1|1, stb.

2.      Ha a|b és b|c, akkor a|c. (Tranzitív tulajdonság.)
Például: 3|27, 27|162, 3|162

3.      Ha a|b és a|c, akkor a|(b+c).
Azaz ha egy szám külön-külön osztója két számnak, akkor a két szám összegének is. Például: 5|15, 5|60, és 5|75=15+60=75.

4.      Ha a|(b+c) és a|b, akkor a|c.
Azaz ha egy szám osztója egy összegnek és osztója az összeg egyik tagjának, akkor osztója az összeg másik tagjának is.   Például 7|35=14+21, 7|14, és 7|21

5.      Ha a|b, akkor a|bd.
Azaz ha egy szám osztója egy másiknak, akkor osztója annak minden többszörösének is.         Például: 6|18, és 6|54=18*3

6.      Ha a|1, akkor a=1.

7.      Ha a|b és b|a, akkor a=b. (Az oszthatóság aszimmetrikus.)

8.      a|0 tetszőleges a eleme N esetén.
Azaz 0-nak bármely természetes szám az osztója. A nulla is.

9.      Ha a|c-nek, b|c, és (a,b)=1, akkor (ab)|c.

A természetes számokat az osztók számának megfelelően négy csoportba soroljuk:

1.      Egy darab osztója van az 1-nek.

2.      Azok a számok, amelyeknek pontosan két darab osztójuk van, ezek a prímszámok.
Prímszámok főtulajdonsága: Ha egy prímszám osztója egy szorzatnak, akkor osztója a szorzat valamelyik tényezőjének.

3.      Azok a számok, amelyeknek kettőnél több, de véges számú osztója van, ezek az összetett számok.

4.      Végtelen számú osztója van a 0-nak.

Következésképpen a 0 és az 1 sem nem prím, sem nem összetett számok.

Oszthatósági szabályok.

Ezek alapvetően a számrendszer alapszámához kötődnek.
Itt most a 10-es számrendszerben megfogalmazott leggyakoribb oszthatósági szabályok következnek.

Egy szám osztható 2-vel, ha utolsó jegye osztható kettővel, azaz 0, 2, 4, 6, vagy 8-ra végződik.
A kettővel osztható természetes számokat páros, a többit páratlan számoknak nevezzük.

Páros*páros=páros, páratlan*páros=páros, páratlan*páratlan=páratlan.
Páros+páros=páros, páratlan+páratlan=páros, páros+páratlan=páratlan.

Egy szám osztható 5-tel, ha utolsó jegye osztható öttel, azaz ha 0-ra vagy 5-re végződik.

Egy szám osztható 10-zel, ha utolsó jegye osztható 10-zel, azaz ha 0-ra végződik.

Egy szám osztható 4-gyel, ha utolsó két számjegyével alkotott szám osztható 4-gyel.

Egy szám osztható 25-tel, ha utolsó két számjegyével alkotott szám osztható 25-tel, azaz ha 00-ra, 25-re, 50-re, vagy 75-re végződik.

Egy szám osztható 8-cal, ha utolsó három számjegyével alkotott szám osztható 8-cal.

Egy szám osztható 125-tel, ha utolsó három számjegyével alkotott szám osztható 125-tel.

Egy szám osztható 3-mal, ha számjegyeinek összege osztható 3-mal.
Például 3|861-nek, mert 8+6+1=15. valóban 861=3*287.

Egy szám osztható 9-cel, ha számjegyinek összege osztható 9-cel.
Például: 9|1674, hiszen 1+6+7+4=18. valóban 1674=9*186.

Egy szám osztható 11-gyel, ha a szám számjegyeit hátulról előrefelé haladva váltakozó előjellel összeadjuk, és az így kapott szám osztható 11-el. (A kapott szám 11-gyel való osztási maradéka megegyezik az eredeti szám 11-es osztási maradékával.)
Például: 11|2541, mert 1-4+5-2=0, és 11|0.

Feladat: (Összefoglaló feladatgyűjtemény 3940. feladat.)

Határozza meg a következő tízes számrendszerben felírt hatjegyű számban az x és y számjegy lehetséges értékét úgy, hogy a szám osztható legyen 36-tal!

Megoldás:

Bontsuk fel a 36-t két egymáshoz képest relatív prímszám szorzatára: 36=9*4, ahol (9;4)=1. A kért szám akkor osztható 36-tal, ha osztható 9-cel is és 4-gyel is. Mivel a 4-gyel való oszthatóság csak a szám két utolsó jegyétől függ, ezért a 4-való oszthatóságot vizsgáljuk először, így y lehetséges értékei: 2, 6.
A 9-cel való oszthatósághoz a számjegyek összegének kell 9-cel osztható számot kell adnia.
Ha y=2, akkor a számjegyek összege 3+2+4+5+2=16. Tehát x=2.
Ha y=6, akkor a számjegyek összege 3+2+4+5+6=20. Tehát x=7.
Így két jó megoldást kaptunk:

1.      y=2 és x=2 esetén 322452. Ellenőrzés: 322452=36*8957.

2.      y=6 és x=7 esetén 327456. Ellenőrzés: 327456=36*9096.