Számelmélet alaptétele

Összetett számoknak nevezzük azokat a természetes számokat, amelyeknek 2-nél több, de véges számú osztója van.

Számelmélet alaptétele: Bármely összetett szám, a tényezők sorrendjétől eltekintve, egyértelműen felírható prímszámok szorzataként. Például: 72=2*2*2*3*3=23*32 Ez utóbbi hatványkitevős alakot a számok kanonikus alakjának nevezzük. Általában: n=p1k*p2l *p3m*p4n*...*pni

A tétel bizonyítása két részből áll.

1.      Felbontás létezik.

Legyen n egy tetszőleges 1-nél nagyobb természetes szám. Vizsgáljuk meg 2-től kezdve sorban az egyes prímszámokat, hogy osztói-e az adott n számnak. (Elegendő n szám négyzetgyökéig nézni.) Ha nem találunk prímosztót, akkor a szám nem összetett, hanem prím. Ha találunk prímosztót, akkor n=p1*n1 alakba irható, ahol p1 a talált prímosztó. Ebben az esetben folytassuk az eljárást n1-re. Mivel n1 <n, ezért ez az eljárás véges számú lépésben be fog fejeződni, és előállítottuk n-t prímszámok szorzataként, azaz n=p1*p2*p3*...*pk.

2.      A felbontás egyértelmű.

Tegyük fel, hogy létezik kétféle felbontás (indirekt okoskodás), azaz n=p1*p2*p3*...*pk.= q1*q2*q3*...*ql. egyenlet felírható. Itt feltételezhetjük, hogy minden p különbözik minden q-tól. ha nem így lenne, az egyező tényezőkkel egyszerűsíthetünk. Mivel az egyenlet baloldala osztható p1-el, akkor a jobboldalnak is oszthatónak kell lennie. Ez pedig lehetetlen, hiszen q1, q2, q3, ...,ql p-től különböző prímszámok. Ezzel bebizonyítottuk, az n összetett szám a prímtényezők sorrendjétől eltekintve egyértelműen bontható fel prímtényezők szorzatára.

Már Fermat is sokat foglalkozott egy adott szám összes osztójának meghatározásával.

Általában ha n=p1k*p2l *p3m*p4n*...*pni alakú, akkor a szám összes osztóinak száma =(k+1)(l+1)(m+1)(n+1)...(i+1), azaz a szám prímtényezős felbontásában szereplő kitevőket 1-gyel megnövelve összeszorozzuk.

Négyzetszámoknak páratlan számú osztója van, hiszen a négyzetszámok kanonikus alakjában minden hatványkitevő páros, ezért az osztók számának meghatározásánál minden tényező páratlan lesz.

Feladat: (Összefoglaló feladatgyűjtemény 4051. feladat.) Hány pozitív osztója van a 2700-nak?

Megoldás: Mivel 2700 kanonikus alakja: 22*33*52, ezért a fenti képlet szerint: (2+1)*(3+1)*2+1)=3*4*3=36. Tehát 2700-nak 36 darab osztója van.

Ha elő is akarjuk állítani az összes osztót, akkor ebben segíthet a táblázatos elrendezés:

20

30

50

21

31

51

22

32

52

 

33

 

Ha a táblázat minden elemét összeszorozzuk a többi oszlop minden elemével az összes lehetséges módon, akkor megkapjuk mind a 36 osztót. Például: 20*30*50=1, 20*30*51=5, 20*30*52=25, 20*31*50=3, stb.

Az első oszlopból 3 féleképpen választhatunk, a másodikból 4 féleképpen, a harmadikból ismét 3 féleképpen, így összesen 3*4*3=36 különböző számot fogunk kapni.

Amennyiben érdekelnek az összetett számokkal kapcsolatos további ismeretek (tökéletes, hiányos, bővelkedő, barátságos, társas számok, stb.) akkor kattints ide.